流体力学（７）

浮力

浮力といえば、アルキメデスの原理が非常に有名。

浮力は、押しのけた流体に働く重力と大きさが等しく、方向が反対で、その着力点（浮心）は押しのけた流体の重心に等しい。

 数式で表すことを考える。

非圧縮性流体の場合 → P(z) = P0 - ρgz

静止流体の力学の場合 → dp/dz = -ρg

ちなみに、空気中においても微量ながら我々は浮力の影響を受けている。

浮揚体の安定性

浮力は、B（Buoyancy)で表される。

今、とある物体が水に浮かんでいるとして、その重心や浮心等の力のモーメントを考えることにする。

浮心と重心の距離をa、傾き角をθ（<<1,ラジアン)、重心周りのモーメントを考える。

浮心までの腕の長さを考え力のモーメントを求めると、

C=Basinθとなる。

傾いたときに水中に入る三角形と水中から出る三角形があるが、この図心は1/3のところにある。ゆえにこの腕までの長さは物体の横幅をbとして、-ΔB*b/2*2/3*cosθと書ける。

したがって、安定するための条件は、

２ΔB*b/2*2/3*cosθ＞Basinθ

が成り立つことである。

B=G＝ρ*g*lbh

ΔB=ρgl*b/2*b/2*tanθ*1/2

を代入して、

b^2 / 12 > a 

が最終的に導かれる条件である。

水中の面に働く力

図形の重心（図心）の定義（H)

AH＝∫Y b(Y) dy

（Aを断面積とする）

 圧力による力は、Px断面積において、

ΣρgY*b(Y) dY

=∫ρgYb(Y) dY

となる。

積分範囲はYminからYmaxまで。b(Y)とは面の横幅のことである。

上記の図心の定義を用いて書き換えると、

F=ρgHA

となる。